齐次坐标的理解

为了解决图像中两条平行线可以相交于一点的问题(透视效应)
在欧氏几何空间,同一平面的两条平行线不能相交,这是我们都熟悉的一种场景。
然而,在透视空间里面,两条平行线可以相交,例如:火车轨道随着我们的视线越来越窄,最后两条平行线在无穷远处交于一点。

欧氏空间(或者笛卡尔空间)描述2D/3D几何非常适合,但是这种方法却不适合处理透视空间的问题(实际上,欧氏几何是透视几何的一个子集合),2维笛卡尔坐标可以表示为(x,y)

如果一个点在无穷远处,这个点的坐标将会(∞,∞),在欧氏空间,这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点,但是在欧氏空间却不能,数学家发现了一种方式来解决这个问题。

方法:齐次坐标
简而言之,齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标

我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标,因此,一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了(x,y,w),并且有
X = {x\over w}
Y = {y\over w}
例如,笛卡尔坐标系下(1,2)的齐次坐标可以表示为(1,2,1),如果点(1,2)移动到无限远处,在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞),然后它的齐次坐标表示为(1,2,0),因为(1/0, 2/0) = (∞,∞),我们可以不用”∞”来表示一个无穷远处的点了,哈哈。

为什么叫齐次坐标?

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

(x,y,w) = (\frac{x}{w},\frac{x}{w})\\ Homogeneous\quad Cartesian

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中,我们有一个发现,例如:

(1,2,3)\Rightarrow({1\over 3},{2\over3})\\ (2,4,6)\Rightarrow({2\over 6},{4\over6})\Rightarrow({1\over 3},{2\over3})\\ (1a,2a,3a)\Rightarrow({1a\over 3a},{2a\over3a})\Rightarrow({1\over 3},{2\over3})\\

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3),任何标量的乘积,例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此,这些点是“齐次的”,因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说,齐次坐标有规模不变性。

证明:两条直线可以相交

考虑如下方程组:

Ax+By+C=0 \\ Ax+By+D=0

我们知道在笛卡尔坐标系里面,该方程组无解,因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。

让我们在透视空间里面,用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,

A{x \over w}+B{y \over w}+C=0\\ A{x \over w}+B{y \over w}+D=0\\ \Rightarrow \\ A{x }+B{y }+Cw=0\\ A{x }+B{y }+Dw=0

现在我们有一个解(x, y, 0),两条直线相交于(x, y, 0),这个点在无穷远处。

小结:齐次坐标在图形学中是一个非常基础的概念,例如3D场景映射到2D场景的过程